摘要：但這個(gè)數(shù)值并不安全從到中間的數(shù)字并不連續(xù)，而是離散的。對(duì)象中的常量表示與可表示的大于的最小的浮點(diǎn)數(shù)之間的差值。絕對(duì)值的最大安全值。尋找奇怪現(xiàn)象的原因?yàn)槭裁唇Y(jié)果是與的逼近算法類似。

聲明：需要讀者對(duì)二進(jìn)制有一定的了解

對(duì)于 JavaScript 開發(fā)者來說，或多或少都遇到過 js 在處理數(shù)字上的奇怪現(xiàn)象，比如：

> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

> 0.1 + 1 - 1
0.10000000000000009

> 0.1 * 0.2
0.020000000000000004

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992

> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992

> Math.pow(2, 53) + 3
9007199254740996

如果想要弄明白為什么會(huì)出現(xiàn)這些奇怪現(xiàn)象，首先要弄清楚 JavaScript 是怎樣編碼數(shù)字的。

JavaScript 中的數(shù)字，不管是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，還是正數(shù)、負(fù)數(shù)，全部是浮點(diǎn)數(shù)，都是用 8 個(gè)字節(jié)（64 位）來存儲(chǔ)的。

一個(gè)數(shù)字（如 12、0.12、-999）在內(nèi)存中占用 8 個(gè)字節(jié)（64 位），存儲(chǔ)方式如下：

0 - 51：分?jǐn)?shù)部分（52 位）

52 - 62：指數(shù)部分（11 位）

63：符號(hào)位（1 位：0 表示這個(gè)數(shù)是正數(shù)，1 表示這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)）

符號(hào)位很好理解，用于指明是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，且只有 1 位、兩種情況（0 表示正數(shù)，1 表示負(fù)數(shù)）。

其他兩部分是分?jǐn)?shù)部分和指數(shù)部分，用于計(jì)算一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

1: abs = 1.f * 2 ^ (e - 1023)             0 < e < 2047
2: abs = 0.f * 2 ^ (e - 1022)             e = 0, f > 0
3: abs = 0                                e = 0, f = 0
4: abs = NaN                              e = 2047, f > 0
5: abs = ∞ (infinity, 無窮大)              e = 2047, f = 0

說明：

這個(gè)公式是二進(jìn)制的算法公式，結(jié)果用 abs 表示，分?jǐn)?shù)部分用 f 表示，指數(shù)部分用 e 表示

2 ^ (e - 1023) 表示 2 的 e - 1023 次方

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)部分占 52 位，所以 f 的取值范圍為 00...00（中間省略 48 個(gè) 0） 到 11...11（中間省略 48 個(gè) 1）

因?yàn)橹笖?shù)部分占 11 位，所以 e 的取值范圍為 0（00000000000） 到 2047（11111111111）

從上面的公式可以看出：

1 的存儲(chǔ)方式：1.00 * 2 ^ (1023 - 1023)（f = 0000..., e = 1023，... 表示 48 個(gè) 0）

2 的存儲(chǔ)方式：1.00 * 2 ^ (1024 - 1023)（f = 0000..., e = 1024，... 表示 48 個(gè) 0）

9 的存儲(chǔ)方式：1.001 * 2 ^ (1026 - 1023)（f = 0010..., e = 1026，... 表示 48 個(gè) 0）

0.5 的存儲(chǔ)方式：1.00 * 2 ^ (1022 - 1023)（f = 0000..., e = 1022，... 表示 48 個(gè) 0）

0.625 的存儲(chǔ)方式：1.01 * 2 ^ (1022 - 1023)（f = 0100..., e = 1022，... 表示 48 個(gè) 0）

從上面的公式可以看出：

當(dāng) 0 < e < 2047 時(shí)，取值范圍為：f = 0, e = 1 到 f = 11...11, e = 2046（中間省略 48 個(gè) 1）

即：Math.pow(2, -1022) 到 ~= Math.pow(2, 1024) - 1（～= 表示約等于）

這當(dāng)中，~= Math.pow(2, 1024) - 1 就是 Number.MAX_VALUE 的值，js 所能表示的最大數(shù)值。

當(dāng) e = 0, f > 0 時(shí)，取值范圍為：f = 00...01, e = 0（中間省略 48 個(gè) 0） 到 f = 11...11, e = 0（中間省略 48 個(gè) 1）

即：Math.pow(2, -1074) 到 ~= Math.pow(2, -1022)（～= 表示約等于）

這當(dāng)中，Math.pow(2, -1074) 就是 Number.MIN_VALUE 的值，js 所能表示的最小數(shù)值（絕對(duì)值）。

這只表示一個(gè)值 0，但加上符號(hào)位，所以有 +0 與 -0。

但在運(yùn)算中：

> +0 === -0
true

這只表示一種值 NaN。

但在運(yùn)算中：

> NaN == NaN
false

> NaN === NaN
false

這只表示一個(gè)值 ∞ (infinity, 無窮大)。

在運(yùn)算中：

> Infinity === Infinity
true

> -Infinity === -Infinity
true

從上面可以看出，8 個(gè)字節(jié)能存儲(chǔ)的最大數(shù)值是 Number.MAX_VALUE 的值，也就是 ~= Math.pow(2, 1024) - 1。

但這個(gè)數(shù)值并不安全：從 1 到 Number.MAX_VALUE 中間的數(shù)字并不連續(xù)，而是離散的。

比如：Number.MAX_VALUE - 1, Number.MAX_VALUE - 2 等數(shù)值都無法用公式得出，就存儲(chǔ)不了。

所以這里引出了最大安全值 Number.MAX_SAFE_INTEGER，也就是從 1 到 Number.MAX_SAFE_INTEGER 中間的數(shù)字都是連續(xù)的，處在這個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)值計(jì)算都是安全的。

當(dāng) f = 11...11, e = 1075（中間省略 48 個(gè) 1）時(shí)，取得這個(gè)值 111...11（中間省略 48 個(gè) 1），即 Math.pow(2, 53) - 1。

大于 Number.MAX_SAFE_INTEGER：Math.pow(2, 53) - 1 的數(shù)值都是離散的。

比如：Math.pow(2, 53) + 1, Math.pow(2, 53) + 3 不能用公式得出，無法存儲(chǔ)在內(nèi)存中。

所以才會(huì)有文章開頭的現(xiàn)象：

> Math.pow(2, 53)
9007199254740992

> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992

> Math.pow(2, 53) + 3
9007199254740996

因?yàn)?Math.pow(2, 53) + 1 不能用公式得出，就無法存儲(chǔ)在內(nèi)存中，所以只有取最靠近這個(gè)數(shù)的、能夠用公式得出的其他數(shù)，Math.pow(2, 53)，然后存儲(chǔ)在內(nèi)存中，這就是失真，即不安全。

小數(shù)中，除了滿足 m / (2 ^ n)（m, n 都是整數(shù)）的小數(shù)可以用完整的 2 進(jìn)制表示之外，其他的都不能用完整的 2 進(jìn)制表示，只能無限的逼近一個(gè) 2 進(jìn)制小數(shù)。

（注：[2] 表示二進(jìn)制，^ 表示 N 次方）

0.5 = 1 / 2 = [2]0.1
0.875 = 7 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 = [2]0.111

# 0.3 的逼近

0.25 ([2]0.01) < 0.3 < 0.5 ([2]0.10)

0.296875 ([2]0.0100110) < 0.3 < 0.3046875 ([2]0.0100111)
 
0.2998046875 ([2]0.01001100110) < 0.3 < 0.30029296875 ([2]0.01001100111)

... 根據(jù)公式計(jì)算，直到把分?jǐn)?shù)部分的 52 位填滿，然后取最靠近的數(shù)

0.3 的存儲(chǔ)方式：[2]0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011

(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110011, e = 1021)

從上面可以看出，小數(shù)中大部分都只是近似值，只有少部分是真實(shí)值，所以只有這少部分的值（滿足 m / (2 ^ n) 的小數(shù)）可以直接比較大小，其他的都不能直接比較。

> 0.5 + 0.125 === 0.625
true

> 0.1 + 0.2 === 0.3
false

為了安全的比較兩個(gè)小數(shù)，引入 Number.EPSILON [Math.pow(2, -52)] 來比較浮點(diǎn)數(shù)。

> Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON
true 

js 從內(nèi)存中讀取一個(gè)數(shù)時(shí)，最大保留 17 位有效數(shù)字。

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011
0.30000000000000000
0.3

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110010
0.29999999999999993

> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
0.30000000000000004

> 0.0000010100011110101110000101000111101011100001010001111100
0.020000000000000004

表示 1 與 Number 可表示的大于 1 的最小的浮點(diǎn)數(shù)之間的差值。

Math.pow(2, -52)

用于浮點(diǎn)數(shù)之間安全的比較大小。

絕對(duì)值的最大安全值。

Math.pow(2, 53) - 1

js 所能表示的最大數(shù)值（8 個(gè)字節(jié)能存儲(chǔ)的最大數(shù)值）。

~= Math.pow(2, 1024) - 1

最小安全值（包括符號(hào)）。

-(Math.pow(2, 53) - 1)

js 所能表示的最小數(shù)值（絕對(duì)值）。

Math.pow(2, -1074)

負(fù)無窮大。

-Infinity

正無窮大。

+Infinity

非數(shù)字。

與 0.3 的逼近算法類似。

0.1 的存儲(chǔ)方式：[2]0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010

(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1019)

0.2 的存儲(chǔ)方式：[2]0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010

(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1020)

0.1 + 0.2: 0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111

(f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111, e = 1021)

但 f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111 有 53 位，超過了正常的 52 位，無法存儲(chǔ)，所以取最近的數(shù)：

0.1 + 0.2: 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100

(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110100, e = 1021)

js 讀取這個(gè)數(shù)字為 0.30000000000000004

因?yàn)?Math.pow(2, 53) + 1 不能用公式得出，無法存儲(chǔ)在內(nèi)存中，所以只有取最靠近這個(gè)數(shù)的、能夠用公式得出的其他數(shù)。

比這個(gè)數(shù)小的、最靠近的數(shù)：

Math.pow(2, 53)

(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000000, e = 1076)

比這個(gè)數(shù)大的、最靠近的數(shù)：

Math.pow(2, 53) + 2

(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000001, e = 1076)

取第一個(gè)數(shù)：Math.pow(2, 53)。

所以：

> Math.pow(2, 53) + 1 === Math.pow(2, 53)
true

How numbers are encoded in JavaScript

JavaScript是怎樣編碼數(shù)字的

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作者：深予之 (@senntyou)

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