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動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的思想及實(shí)現(xiàn)

includecmath / 2358人閱讀

摘要：介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃簡(jiǎn)稱是算法設(shè)計(jì)思想當(dāng)中最難也是最有趣的部分了，動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于有重疊子問(wèn)題和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)的問(wèn)題，是一種在數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常使用的，通過(guò)把原問(wèn)題分解為相對(duì)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題的方式求解復(fù)雜問(wèn)題的方法。

介紹 
動(dòng)態(tài)規(guī)劃(簡(jiǎn)稱DP)是算法設(shè)計(jì)思想當(dāng)中最難也是最有趣的部分了，動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于有重疊子問(wèn)題和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)的問(wèn)題，是一種在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常使用的，通過(guò)把原問(wèn)題分解為相對(duì)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題的方式求解復(fù)雜問(wèn)題的方法。使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解題有較高的時(shí)間效率，關(guān)鍵在于它減少了很多不必要的計(jì)算和重復(fù)計(jì)算的部分

它的思想就是把一個(gè)大的問(wèn)題進(jìn)行拆分，細(xì)分成一個(gè)個(gè)小的子問(wèn)題，且能夠從這些小的子問(wèn)題的解當(dāng)中推導(dǎo)出原問(wèn)題的解。同時(shí)還需要滿足以下兩個(gè)重要性質(zhì)才能進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃

最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性: 既所拆分的子問(wèn)題的解是最優(yōu)解。

子問(wèn)題重疊性質(zhì): 既在求解的過(guò)程當(dāng)中，每次產(chǎn)生的子問(wèn)題并不總是新問(wèn)題，有些子問(wèn)題會(huì)被重復(fù)計(jì)算多次。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法正是利用了這種子問(wèn)題的重疊性質(zhì)，對(duì)每一個(gè)子問(wèn)題只計(jì)算一次，然后將其計(jì)算結(jié)果保存在一個(gè)表格中，當(dāng)再次需要計(jì)算已經(jīng)計(jì)算過(guò)的子問(wèn)題時(shí)，只是在表格中簡(jiǎn)單地查看一下結(jié)果，從而獲得較高的解題效率

舉個(gè)栗子 
首先先引一道動(dòng)態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典問(wèn)題最長(zhǎng)不下降子序列

它的定義是: 設(shè)有由n個(gè)不相同的整數(shù)組成的數(shù)列b[n],若有下標(biāo)$i_1

例如

13,7,9,16,38,24,37,18,44,19,21,22,63,15

那么就有13<16<38<44<63長(zhǎng)度為5的不下降子序列。
但是經(jīng)過(guò)觀察實(shí)際上還有7<9<16<18<19<21<22<63長(zhǎng)度為8的不下降子序列，那么是否還有更長(zhǎng)的不下降子序列呢？請(qǐng)找出最長(zhǎng)的不下降子序列

輸入格式

第一行為n，表示n個(gè)數(shù)(n<=100000),第二行為n個(gè)數(shù)的數(shù)值(數(shù)字之間用空格隔開(kāi)且最后一個(gè)數(shù)字末尾不能留有空格)

輸出格式

一個(gè)整數(shù)，表示最長(zhǎng)不下降子序列的長(zhǎng)度。

輸入例子

4


1 3 1 2

輸出例子

2

思路

假如要求得某一段的最優(yōu)，就要想更小段的最優(yōu)怎么求，再看看由最小段的最優(yōu)能否擴(kuò)大推廣到最大段的最優(yōu);

假設(shè)這么一個(gè)表:

第三行表示該序列元素的所能連接的最長(zhǎng)不下降子序列的長(zhǎng)度，因?yàn)楸旧黹L(zhǎng)度為1，所以初始值都為1

第四行表示鏈接于哪個(gè)序列元素形成最長(zhǎng)不下降子序列

先從倒數(shù)第二項(xiàng)63算起，在它的后面僅有一項(xiàng)，因此僅作一次比較，因?yàn)?3>15，所以從63出發(fā)，不作任何鏈接，長(zhǎng)度還是為1。

再看倒數(shù)第三項(xiàng)22，在它的后面有2項(xiàng)，因此必須要在這2項(xiàng)當(dāng)中找出比22大，長(zhǎng)度又是最長(zhǎng)的數(shù)值作為鏈接，由于只有22<63,所以修改22的長(zhǎng)度為2，即自身長(zhǎng)度加上所鏈接數(shù)值的長(zhǎng)度，并修改鏈接位置為13，也就是63的下標(biāo)。

再看倒數(shù)第四項(xiàng)21，在它的后面有3項(xiàng)，因此必須要在這3項(xiàng)當(dāng)中找出比21大，長(zhǎng)度又是最長(zhǎng)的數(shù)值作為鏈接(注意:是長(zhǎng)度)，很容易看出，數(shù)值22滿足該條件，因此，修改21的長(zhǎng)度為3，并修改鏈接位置為12，即22的序列下標(biāo)。

依次類推，最后結(jié)果如下表:

最終狀態(tài)的轉(zhuǎn)移方程式為: $f(i) = max {f(j)} +1 (b_j

代碼

process.stdin.setEncoding("utf8");

var arr = [];
var bool = 0;
var n = 0;
var longest = 1;
var a = [];
var dp = [];

process.stdin.on("readable", function() {
  var chunk = process.stdin.read();
  if (chunk !== null) {
      arr.push(chunk.trim())
  }

  if(bool>=2){
      n = arr[0];
      process.stdin.emit("end")
  }

  bool++

});


process.stdin.on("end", function() {

    a = arr.slice(1).join(" ").split(" ").map(function(index, elem) {
        return parseInt(index);
    })

    for(let i = 0;ia[j]){
                dp[i] = Math.max(dp[j]+1,dp[i])
            }
            longest = Math.max(dp[i],longest)
        }

    }

    console.log("最長(zhǎng)長(zhǎng)度為:"+longest);


      process.stdout.write("end");
});

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