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IEEE754 浮點數(shù)格式 與 Javascript number 的特性

BigTomato / 980人閱讀

摘要：類型使用的就是標準中的雙精度浮點數(shù)。數(shù)字的許多特性都依賴于此標準，例如令人費解的不等于這篇文章介紹標準中雙精度浮點數(shù)二進制儲存格式，并由此推出中數(shù)字的一些特性。

Javascript 作為一門動態(tài)語言，其數(shù)字類型只有 number 一種。 nubmer 類型使用的就是 IEEE754 標準中的 雙精度浮點數(shù)。Javascript 數(shù)字的許多特性都依賴于此標準，例如令人費解的 0.1+0.2不等于0.3

這篇文章介紹 IEEE754 標準中雙精度浮點數(shù)二進制儲存格式，并由此推出 js 中數(shù)字的一些特性。

一、IEEE754 中浮點數(shù)的儲存格式

在 IEEE754 中，雙精度浮點數(shù)儲存為64位：

指數(shù)位可以通過下面的方法轉(zhuǎn)換為使用的指數(shù)值：

浮點數(shù)表示的值的形式由 $e$ 和 $f$ 確定：

二、根據(jù) IEEE754 計算 0.1+0.2 1. 將 0.1 使用轉(zhuǎn)換為二進制

$0.1 = (0.0dot0dot0dot1dot1)_2=(-1)^0 imes2^{-4} imes(1.dot1dot0dot0dot1)_2$

$0.2 = 0.1 imes2^1=(-1)^0 imes2^{-3} imes(1.dot1dot0dot0dot1)_2$

由于小數(shù)位 $f$ 僅儲存 52bit, 儲存時會將超出精度部分進行"零舍一入"

值類型 小數(shù)位(儲存范圍內(nèi)) 小數(shù)位(儲存范圍外)
無限精確值 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001...
實際儲存值 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 -

由于計算加減時不會對指數(shù)位進行位運算，這里不計算指數(shù)位的表示，直接使用數(shù)字表示最終的指數(shù)值

0.1、0.2 的表示如下：

浮點數(shù)數(shù)值 符號位 $s$ 指數(shù)值 $E$ 小數(shù)位 $f$
0.1 0 -4 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
0.2 0 -3 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
2. 將 0.1 與 0.2 相加

在計算浮點數(shù)相加時需要先進行“對位”，將較小的指數(shù)化為較大的指數(shù)，并將小數(shù)部分相應(yīng)右移

$0.1 ightarrow (-1)^0 imes2^{-3} imes(0.1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101 0)_2$
$0.2 ightarrow (-1)^0 imes2^{-3} imes(1.1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010)_2$

$0.1 + 0.2 = (-1)^0 imes2^{-2} imes(1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)_2$

可以通過下面的方法檢驗計算結(jié)果是否于 js 中一致：

0.1 + 0.2 === (-1)**0 * 2**-2 * (0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2**-52)
//> true
//計算正確
三、計算 javascript Number 的特性

在js中 Number對象上附帶了許多屬性，表示可數(shù)的范圍等信息，例如 Number.MAX_SAFE_INTEGER 是一個16位的數(shù)字，這一部分將解釋如何計算出這些有特殊意義的數(shù)字。

1.計算 Number.MAX_VALUE 和 Number.MIN_VALUE

當符號位為0、指數(shù)取到1023、小數(shù)位全為1時，為可表示的最大值
當符號位為0、指數(shù)位全為0（表示非規(guī)格浮點數(shù)）、小數(shù)位僅最后一位為1時，為可表示的最小正值

var max = (-1)**0 * 2**1023 * (Number.parseInt( "1".repeat(53) ,2) * 2**-52);
max === Number.MAX_VALUE;
//> true

var min = (-1)**0 * 2**-1022 * (Number.parseInt( "0".repeat(52)+"1" ,2) * 2**-52);
min === Number.MIN_VALUE;
//> true
2.計算 Number.MAX_SAFE_INTEGER 和 Number.MIN_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER 表示最大安全整數(shù)，它是9開頭的16位數(shù)字，也表明js number最大精度不超過16位。

ECMASCRIPT-262 定義：

The value of Number.MAX_SAFE_INTEGER is the largest integer n such that n and n + 1 are both exactly representable as a Number value.  
http://www.ecma-international...

改變指數(shù)位為53，這讓每個小數(shù)位都表示浮點數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)位最低位對應(yīng) $2^0$，然后將每個小數(shù)位都置1，可得最大準確整數(shù)：

var max_safe_int = (-1)**0 * 2**52 * (Number.parseInt("1".repeat(53),2) * 2**-52);
max_safe_int === Number.MAX_SAFE_INTEGER;
//> true
//當它 +1 時，可由 (-1)**0 * 2**53 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(52),2) * 2**-52) 正確表示，而再 +1 時則無法準確表示

//符號位取反可得最小安全整數(shù)
-1 * max_safe_int === Number.MIN_SAFE_INTEGER;
3.計算 Number.EPSILON

Number.EPSILON 是一個極小值，用于檢測計算結(jié)果是否在誤差范圍內(nèi)。例如：

Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON;
//> true

//2017-9-27 補充
1.1 + 1.3 - 2.4 < Number.EPSILON
//> false

根據(jù) ECMASCRIPT-262 定義：

The value of Number.EPSILON is the difference between 1 and the smallest value greater than 1 that is representable as a Number value, which is approximately 2.2204460492503130808472633361816 x 10???16.

http://www.ecma-international...

根據(jù)定義Number.EPSILON是大于1的最小可表示數(shù)與1的差，可以據(jù)此計算出 Number.EPSILON 的值：

//將表示1的二進制小數(shù)位的最左端置1，可表示大于1的最小數(shù)
var epsilon = (-1)**0 * 2**0 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(51)+"1",2) * 2**-52) - 1;
// (-1)**0 * 2**0 * (+`0b1${"0".repeat(51)}1` * 2**-52) - 1;
epsilon === Number.EPSILON;
//> true

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