摘要：說起浮點數(shù)，大家都是又恨又愛的。當(dāng)小數(shù)不為時，浮點數(shù)的值為，即不是一個數(shù)。所以，整個浮點數(shù)的二進(jìn)制表示就是。最后其實，浮點數(shù)有很多坑。因此，我們在使用浮點數(shù)的時候，一定要小心。還有，涉及到金額計算的時候，一定不能使用浮點數(shù)。

本文為作者自己的總結(jié)的，由于作者的水平限制，難免會有錯誤，歡迎大家指正，感激不盡。

說起浮點數(shù)，大家都是又恨又愛的。愛呢，是因為，只有它可以方便地使用小數(shù)；恨呢，是因為它并不能精確地表示小數(shù)。

以 PHP 為例：floor((0.1 + 0.7) * 10) 這樣一個函數(shù)調(diào)用，根據(jù)數(shù)學(xué)老師死得晚原理，大家都能得出 8 這個結(jié)果?？墒鞘聦嵣夏兀克鼤祷?7。數(shù)學(xué)老師的棺材板。。。(╯‵□′)╯︵┻━┻

可是為什么會出現(xiàn)這種情況呢？這就要從浮點數(shù)的特性說起了。

我們都知道，在計算機(jī)中，一切的一切都是二進(jìn)制表示的。假設(shè)一個 4 字節(jié)整型的十進(jìn)制數(shù) 8，在大端表示的機(jī)器中，表示成 00000000 00000000 00000000 00001000（0x0000008）。將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，是非常容易的?？墒?，小數(shù)呢？比如，我們要表示 1.75，該怎么存儲在計算機(jī)中呢？顯然，不能像整數(shù)一樣存儲了。

讓我們回憶一下，在十進(jìn)制中，小數(shù)是怎么計算的。上面的 1.75 我們是這么算的：1 × 10^0 + 7 × 10^-1 + 5 × 10^-2 。那么我們按照相同的規(guī)則，來用二進(jìn)制計算一下小數(shù)部分：0.75 = 1/2 + 1/4，也就是 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，再加上前面的整數(shù)部分，那么整個式子就變成了 1 × 2^0 + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，寫成二進(jìn)制形式就是 1.11。所以，1.75 的二進(jìn)制表示是 1.11。

對于將小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，和整數(shù)部分除二取余相反的，是乘二取整。

0.75 * 2 = 1.5 -> 1
0.5 * 2 = 1 -> 1

所以我們同樣可以得出 1.11。

好了，我們已經(jīng)知道如何表示一個小數(shù)的二進(jìn)制了。辣么，問題來了。學(xué)過 C 語言的同學(xué)都知道，一個 float 只有 4 字節(jié)，一個 double 也只有 8 字節(jié)。那么，這么表示一個小數(shù)，好像范圍很有限。

在數(shù)學(xué)老師哭暈在廁所之前，我們應(yīng)該還記得十進(jìn)制數(shù)中有這么一個東西——科學(xué)計數(shù)法，我們可以很方便地用它來表示很大的十進(jìn)制數(shù)。那么，同理，我們也可以用在浮點數(shù)的表示上。

讓我們先來回憶一下，科學(xué)計數(shù)法的表示。假設(shè)我們有一個數(shù) 17500，我們可以用科學(xué)計數(shù)法表示成 1.75 × 10^4 。我們照葫蘆畫瓢，在二進(jìn)制數(shù)中，假設(shè)有一個數(shù)是 11010。我們來和十進(jìn)制對應(yīng)一下。十進(jìn)制是乘 10，那么二進(jìn)制就是乘 2，我們對應(yīng)的就可以寫成 1.101 × 2^100 。對，其實就是這么簡單。那也許有的人會問了，為什么不寫成 0.1101 × 2^101 呢？我們再來回憶一下，在十進(jìn)制科學(xué)計數(shù)法中，是不是有一個規(guī)定，整數(shù)部分的范圍是 [1,10)。那對應(yīng)到我們的二進(jìn)制數(shù)上，這個規(guī)定就可以變成 [1,2) 了，沒錯，對應(yīng)關(guān)系就是這么簡單。

好了，我們現(xiàn)在也知道怎么使用二進(jìn)制來表示小數(shù)，以及使用科學(xué)計數(shù)法來表示二進(jìn)制小數(shù)了。那么，我們距離把數(shù)字存入計算機(jī)內(nèi)存僅剩一步之遙了，我們要把所有的東西存到內(nèi)存里去，那么我們就需要合理地分配內(nèi)存空間。浮點數(shù)有兩種，一種是單精度浮點數(shù)（float），占用 4 字節(jié)的內(nèi)存。其中，1 位是符號位，8 位是階碼（冪），23 位是尾數(shù)（小數(shù)部分）。

細(xì)心的各位可能會發(fā)現(xiàn)，好像沒有整數(shù)部分？別急，這就是上面那個規(guī)定的有用之處。當(dāng)整數(shù)部分在 [1,2) 之間時，也就只可能取到一個值 1，那么，對于這個值，我們是不是就可以當(dāng)做默認(rèn)值而不記錄在浮點數(shù)的表示中了？而這樣，我們的浮點數(shù)的精度又多了一位（小數(shù)部分的位數(shù)決定了精度）。這種表示叫做隱含 1 開頭的表示。

到了這里，我們發(fā)現(xiàn)，第一位是浮點數(shù)的正負(fù)符號，那么，對于一個科學(xué)計數(shù)法來說，階碼同樣需要有正負(fù)。而在單精度中，階碼只有 8 位；雙精度中，階碼只有 11 位。如果我們給階碼表示成補(bǔ)碼，那么，我們能夠表示的數(shù)的范圍就會縮小，這樣顯然是不劃算的。于是，偏置值就由此誕生了。

在內(nèi)存中的規(guī)格化的浮點數(shù)表示中，階碼并非是 2 的冪，而是經(jīng)過計算的結(jié)果，這個計算公式就是 e - Bias，這里的 Bias 就是偏置值，而 e 就是階碼在浮點數(shù)中的二進(jìn)制表示。Bias 的值是 2^k-1 - 1（單精度是 127，雙精度是 1023），所以，e - Bias 的取值范圍就是 [-126, 127]（單精度）和 [-1022, 1023]（雙精度）。其實如果對補(bǔ)碼了解的比較好的同學(xué)，應(yīng)該就能看出來，這其實就是省略了符號位的補(bǔ)碼表示）。

通過上面的隱含 1 開頭的表示的尾數(shù)，我們可以計算出基數(shù) M = 1 + f。那么我們整個的浮點數(shù)可以寫成這樣一個表達(dá)式：M × (e - Bias)。

對于規(guī)格化和非規(guī)格化的值來說，我們都可以用同一個式子來表示。不過，為了某些更加方便的原因（這里就不展開講了），對它們做了區(qū)分。如果按照規(guī)格化的計算來看，階碼的值是 0 - Bias，不過在這里，我們讓階碼的值等于 1 - Bias。同樣的，由于我們給階碼加了 1，那么整個浮點數(shù)就會向左移動一位，那么，我們需要讓浮點數(shù)的值不變，M 就不在需要上面整數(shù)部分的 1 了，所以 M = f。

同時，我們會發(fā)現(xiàn)一個問題，那就是 +0.0 和 -0.0 在浮點數(shù)的二進(jìn)制表示上是不同的。

最后，還剩下這樣一種數(shù)字，那就是階碼全為 1 的情況。當(dāng)小數(shù)為 0 的時候，浮點數(shù)的值為 ∞。當(dāng)小數(shù)不為 0 時，浮點數(shù)的值為 NaN，即不是一個數(shù)（Not a Number）。

好了，扯了這么多，我們現(xiàn)在回到最開始的問題上，floor((0.1 + 0.7) * 10) = 7。我們先看 0.1 的二進(jìn)制表示。

首先，我們將十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)，可以得到 0.000[1100]···。讓我們轉(zhuǎn)換成浮點數(shù)的二進(jìn)制表示。按照上面的規(guī)則，它可以被表示成科學(xué)計數(shù)法 1.10011001100110011001100 × 2^-4 ，這樣，階碼就是 -4 + 127 = 123，二進(jìn)制表示為 01111011。所以，整個浮點數(shù)的二進(jìn)制表示就是 00111101110011001100110011001100(0x3dcccccc)。同樣的，0.7 會表示為00111101001100110011001100110011(0x3d333333)。

首先我們要對階碼小的數(shù)進(jìn)行對階，然后再進(jìn)行尾數(shù)的加法，這樣，我們得到的值就是 00111101111001100110011001100101。我們將其轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，發(fā)現(xiàn)，它是小于 0.8 的。因此，當(dāng)我們再進(jìn)行乘法運算向下取整時，會等于 7。

其實，浮點數(shù)有很多坑。因此，我們在使用浮點數(shù)的時候，一定要小心。還有，涉及到金額計算的時候，一定不能使用浮點數(shù)。

本文為作者自己讀書總結(jié)的文章，由于作者的水平限制，難免會有錯誤，歡迎大家指正，感激不盡。

《深入理解計算機(jī)系統(tǒng)（第 3 版）》第 2.4.2 節(jié)